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河南理工大学-复变函数与积分变换
[综合题,6.2分] （1）求cost的拉氏变换[cost]； （2）设F(s)=[y(t)]，其中函数y(t)二阶可导,[y〃(t)]存在,且y(0)=0, y＇(0)=1，求[y〃(t)]； （3）利用拉氏变换求解常微分方程初值问题： 解： (1) ℒ （问题1） (2) 由拉氏变换的微分性质 ℒ 有 ℒ 将y(0)=0, y＇(0)=1代入，即得 ℒ （问题2） (3) 对微分方程两边取拉氏变换，得 ℒ3 ℒ, 由上面结果及ℒ便得 （问题3）对上式取拉氏逆变换：为F(s)在复平面内的所有奇点，且均为一级 极点，于是 ?（问题4）
[综合题,6.2分] 利用拉氏变换求解常微分方程组 解：设ℒ,ℒ, ℒ对方程组取拉氏变换，有 代入初始条件得 ，而 的拉氏原象为,的拉氏原象为，由卷积定理，有 问题：请将正确的结果填入有问号的空中。
[综合题,6.2分] 求函数的傅氏变换。 解 由于 ℱ 利用象函数的微分性质ℱ, 就有 ℱ 。 （注：）
[综合题,7分] 设ℒ，证明ℒ并计算ℒ 证明：令at=u，则 ℒ 问题1：证明过程正确吗？ ℒ。 问题2：计算结果对吗？
[计算题,50分] 利用拉氏变换求解微分方程 解 因为 所以 可用不同的方法求出y(t): 方法1：直接利用反演定理 方法二，利用已知函数的拉氏原象 >-1 这两种方法对吗？
[计算题,50分] 利用拉氏变换求解常系数线性微分方程 的特解。 解： 设> 对方程取拉氏变换，并由拉氏变换的微分性质及位移性质 > > > 将代入，即得 > > 于是，有 而 (> )，再由象函数的微分性质，便有 > )。 从而所求特解为：
[计算题,50分] 求 的卷积 。
[计算题,50分] 求函数 的拉氏逆变换 解：. 当s →∞时，F(s)→0， 且F(s)在复平面内的所有奇点为z= ±i, ±2，均为一级极点，根据拉氏反演定理，F(s)的拉普拉斯原象f(t)为 =？
[填空题,100分] 若 > ，且 存在， 则 _____
[计算题,33.3分] 求函数的拉氏变换，并给出收敛域。 解：∵ ∴ 收敛域为：？
[填空题,33.3分] 设 > [f(t)]=F(ω), 则 > _____
[填空题,33.4分] 指数函数 (a 为实数 ) 的拉氏变换为 _______
[填空题,100分] 设>[f1(t)]=F1(ω), >[f2(t)]=F2(ω),则>
[计算题,50分] 求函数的傅氏变换，其中 解 > [ .
[填空题,50分] 函数 f (t) 无穷次可微，则 ______
[综合题,6.2分] 利用拉氏变换求解常微分方程组 解：设ℒ,ℒ, ℒ对方程组取拉氏变换，有 代入初始条件得 ，而 的拉氏原象为,的拉氏原象为，由卷积定理，有 问题：请将正确的结果填入有问号的空中。
[综合题,6.2分] 求函数的傅氏变换。 解 由于 ℱ 利用象函数的微分性质ℱ, 就有 ℱ 。 （注：）
[综合题,7分] 设ℒ，证明ℒ并计算ℒ 证明：令at=u，则 ℒ 问题1：证明过程正确吗？ ℒ。 问题2：计算结果对吗？
[计算题,50分] 利用拉氏变换求解微分方程 解 因为 所以 可用不同的方法求出y(t): 方法1：直接利用反演定理 方法二，利用已知函数的拉氏原象 >-1 这两种方法对吗？
[计算题,50分] 利用拉氏变换求解常系数线性微分方程 的特解。 解： 设> 对方程取拉氏变换，并由拉氏变换的微分性质及位移性质 > > > 将代入，即得 > > 于是，有 而 (> )，再由象函数的微分性质，便有 > )。 从而所求特解为：
[计算题,50分] 求 的卷积 。
[计算题,50分] 求函数 的拉氏逆变换 解：. 当s →∞时，F(s)→0， 且F(s)在复平面内的所有奇点为z= ±i, ±2，均为一级极点，根据拉氏反演定理，F(s)的拉普拉斯原象f(t)为 =？
[填空题,100分] 若 > ，且 存在， 则 _____
[计算题,33.3分] 求函数的拉氏变换，并给出收敛域。 解：∵ ∴ 收敛域为：？
[填空题,33.3分] 设 > [f(t)]=F(ω), 则 > _____
[填空题,33.4分] 指数函数 (a 为实数 ) 的拉氏变换为 _______
[填空题,100分] 设>[f1(t)]=F1(ω), >[f2(t)]=F2(ω),则>
[计算题,50分] 求函数的傅氏变换，其中 解 > [ .
[填空题,50分] 函数 f (t) 无穷次可微，则 ______